Espaces vectoriels normés (MATH503_MATH)

Introduction à la topologie générale, études des espaces métriques et des espaces vectoriels normés.

Acquérir les notions de base de topologie générale et savoir manipuler ces notions dans le cadre des espaces métriques et des espaces vectoriels normés.

Enseignement d'analyse et d'algèbre de deuxième année

Espace topologique. Ouvert, fermé, compact, fonction continue, connexité.

Espace métrique. Complétude, suites de Cauchy, espaces métriques complets, compacité, applications continues sur un compact.

Espaces vectoriels normés. Topologie d’un espace vectoriel normé (voisinage, ouvert, fermé, intérieur, adhérence, frontière), suites d’éléments d’un espace vectoriel normé, étude locale d’une application (continuité, continuité uniforme, applications linéaires continues), espaces de Banach, connexité par arc, espaces vectoriels normés de dimension finie (complétude, applications linéaires, parties compactes, équivalence des normes), espaces d’applications linéaires continues. Normes l_p, L_p.

Espaces de Hilbert. Introduction aux espaces de Hilbert.

Maitrise des notions suivantes: éléments de base de topologie générale (ouvert, fermé, voisinage, …), fonctions continues, uniformément continues, lipschitziennes dans les espaces métriques ou les espaces normés, compacité, espaces de Banach, connexité par arcs, connexité.